1 定义：对于集合A，B，当且仅当存在从A到B上的一个双射（一一对应）时，说A等势于B，记作A≈B。

定理1：对于任何的集合A，B，C，1)(自反性)A≈A；2)(对称性)A≈B⇒B≈A；3)(传递性)A≈B∧B≈C⇒A≈C。

≈ 的一般性质：对于任何的集合A，B，C，D：I )A≈C∧B≈D⇒AXB≈CXD；II) A≈C∧B≈D∧A∩C=B∩D=∅⇒A∪B≈C∪D(这里有问题，见勘误1)；III) A≈B⇒P(A)≈P(B) 。

2 定义：对于集合A，当且仅当存在一个自然数n，使A≈n，我们说A是有限集。否则（即不存在这样的自然数n）说A是无穷集。

引理1：与0等势的集合只有他自己，特别是，有0等势的自然数，只有它自己。

引理2：对于任何的自然数m，n，m≈n⇒m=n。

定理2：与某一有限集等势的自然数是唯一的。

引理3：设B是自然数n的真子集，则存在一个自然数m

定理3：有限集的任何子集是有限集。

定理4：有限集A不能与其任何真子集B等势，且N(B)

3 定义：对于集合A，B，当且仅当存在从A到B内的一个单射，说A受制于B，记为A≼B。当且仅当A≼B，且A不与B等势。说A严格受制于

B，记为A≺B。